Hello, comrade! If you want to mirror your LaTeX output you can use list.marker to change the used marker (or set an array of markers for nested lists).
#import "@preview/numberingx:0.0.1"
// #let date = state("lecture-date")
#let date = datetime(year: 2023, month: 3, day: 1)
#set page(
margin: 2.2cm,
header: context [Листок #here().page()#h(1fr)#date.display("[month].[year]")]
// header: context {
// let d = if date.at(here()) != none {date.get().display("[month].[year]")}
// [Листок #here().page()#h(1fr)#d]
// }
)
#set text(12pt, lang: "ru")
#set par(justify: true)
#set list(marker: sym.triangle.stroked.r)
#show heading: set align(center)
#show heading: set block(spacing: 1.5em)
// Doesn't work on the first page. :(
// #date.update(datetime(year: 2023, month: 3, day: 1))
= Многочлены и поля I. Корни и коэффициенты
- Слова могут быть как конечными, так и бесконечными (в одну или в обе стороны).
В~дальнейшем, если не оговорено иное, под словами подразумеваются конечные
слова.
- *Определение 1*. Монóм (от одной переменной, с коэффициентами в поле $K$) ---
это формальная запись вида $a x^n$ ($n$ --- целое неотрицательное число, $a$
--- элемент поля $K$, $x$ --- формальный символ).
#h(1em)_Кольцом многочленов_ от одной переменной над полем $K$ называется
множество $K[x]$ конечных формальных сумм мономов#footnote[примечание] с
естественными операциям#highlight[и].
*Задача 1*. Вычислите свободный член многочлена
$underbrace((...((x - 2)^2 - 2)^2... - 2)^2, 200 "пар скобок")$.
// *Задача 2*. а) Найдите сумму коэффициентов многочлена $(1 - x + x^2)^n$.\
// б) $P$ --- ненулевой многочлен с действительными коэффициентами. Могут ли все
// коэффициенты многочлена $P(x)(x - 1)$ быть неотрицательны?
#set enum(numbering: numberingx.formatter("{lower-russian})"))
*Задача 2*.
+ Найдите сумму коэффициентов многочлена $(1 - x + x^2)^n$.
+ $P$ --- ненулевой многочлен с действительными коэффициентами. Могут ли все
коэффициенты многочлена $P(x)(x - 1)$ быть неотрицательны?
*Задача 3*. Вычислите $mat(100;0) + 4mat(100;2) + ... + 2^100mat(100;100)$.
*Задача 4*.
+ Пусть $A$, $B$ --- многочлены над полем $K$, $A != 0$. Докажите, что $B$
ровно одним образом можно представить в виде $A Q + R$, где $Q, R in K[x],
deg R < deg A$ (степень нулевого многочлена мы считаем равной $-oo$).
+ Верно ли это для многочленов над кольцом целых чисел?
- *Определение 2*. Многочлены $Q$ и $R$ из предыдущей задачи называются,
соответственно, _неполным частным_ и _остатком_ при делении многочлена $B$ на
многочлен $A$.
*Задача 5*. Разделите с остатком $x^100$ на $x - 1$ и на $x + 1$.
*Задача 6*. Докажите, что остаток от деления многочлена на $(x - a)$ есть
значение этого многочлена в точке $a$ ("теорема Безу"). В частности, если
$x_0$ --- корень многочлена $P$, то $P$ делится на многочлен $(x - x_0)$.
- *Определение 3*. Если многочлен $P$ делится на $(x - x_0)^k$, говорят, что
$x_0$ является корнем многочлена $P$ _кратности_ не менее $k$.
*Задача 7*. Докажите, что многочлен степени $n$ имеет не более $n$ корней.
Докажите, что если два многочлена степени не выше $n$ совпадают в $(n + 1)$
точке, то они равны.
*Задача 8*. Многочлен с действительными коэффициентами в целых точках
принимает целые значения. Обязательно ли все его коэффициенты целые?
Рациональные?
*Задача 9*. Приведите пример двух различных многочленов над каким-то полем $K$,
Output
Output (dark mode)
I found one typo, BTW. I highlighted it.
As a side note, I want to say that the topic title doesn’t make sense to me, so you probably should rephrase the question or describe it to me and I will come up with something. :)
Typst v0.12.0 update
In case the date is updated multiple times in the document, now you can set this up with:
...
// #let date = state("lecture-date", datetime(year: 2023, month: 3, day: 1))
#let date = state("lecture-date")
#set page(
margin: 2.2cm,
// header: context [Листок #here().page()#h(1fr)#date.display("[month].[year]")]
header: context {
let d = if date.at(here()) != none {date.get().display("[month].[year]")}
[Листок #here().page()#h(1fr)#d]
}
)
...
// Should be added before any content on the first page.
#date.update(datetime(year: 2023, month: 3, day: 1))
#pagebreak(weak: true) // Hack so that the update is seen on the first page.
#lorem(1000) // First page content.
// Update the "current" date:
#date.update(datetime(year: 2023, month: 4, day: 1))
// #pagebreak(weak: true) // Use this if you want to have a new "lecture"
// to start at the top of a new page. Otherwise the new date will only show up
// if this function call will be added on the first page.
If you don’t mind setting the date inside your set/show rules/template section, you can do this for the first page:
#let date = state("lecture-date", datetime(year: 2023, month: 3, day: 1))
Also using Can you make a horizontal `enum`/`list`? - #2 by ludwig as a reference I was able to perfectly copy the enum problem № 2 by still using the enum sugar syntax:
#import "@preview/numberingx:0.0.1"
#let horizontal-enum = it => {
it
.children
.enumerate(start: it.start)
.map(((n, child)) => numbering(it.numbering, n) + " " + child.body)
.join(linebreak())
}
#set page(margin: 2.2cm)
#set text(12pt, lang: "ru")
#set par(justify: true)
#set list(marker: sym.triangle.stroked.r)
- *Определение 1*. Монóм (от одной переменной, с коэффициентами в поле $K$) ---
это формальная запись вида $a x^n$ ($n$ --- целое неотрицательное число, $a$
--- элемент поля $K$, $x$ --- формальный символ).
#show enum: horizontal-enum
#set enum(numbering: numberingx.formatter("{lower-russian})"))
*Задача 2*.
+ Найдите сумму коэффициентов многочлена $(1 - x + x^2)^n$.
+ $P$ --- ненулевой многочлен с действительными коэффициентами. Могут ли все
коэффициенты многочлена $P(x)(x - 1)$ быть неотрицательны?
*Задача 3*. Вычислите $mat(100;0) + 4mat(100;2) + ... + 2^100mat(100;100)$.
This one, however, also works in v0.11.1. You can put the enum set/show rules at the start of the file, but depending on your document structure/content you might want to avoid it.
